Kalkulus Lanjut, Integral Lipat Dua

KALKULUS LANJUT

INTEGRAL LIPAT DUA

Oleh :

Abdi Rianto

¹Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

E-mail: abdirianto75@gamail.com

 

Abstrak

    Dalam matematika, integral lipat dua adalah konsep yang melibatkan integrasi fungsi dua variabel melalui daerah di bidang dua dimensi. Abstrak integral lipat dua dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut:

    Misalkan D adalah daerah tertutup di bidang xy dengan batas-batas yang dapat dijelaskan dengan persamaan yang sesuai. Jika f(x, y) adalah fungsi kontinu pada D, maka integral lipat dua dari f(x, y) di atas D dapat dinyatakan sebagai:

∬D f(x, y) dA

di mana dA adalah elemen luas infinitesimal pada D. Elemen luas ini bergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Jika menggunakan koordinat kartesian, maka dA = dx dy, di mana dx dan dy adalah elemen lebar infinitesimal pada sumbu x dan y.

    Integral lipat dua ini dapat dihitung dengan menerapkan teknik-teknik integrasi yang dikenal seperti aturan rantai, substitusi, atau dengan membagi daerah D menjadi subdaerah yang lebih kecil. Hasil dari integral lipat dua ini adalah bilangan riil yang mewakili jumlah total kontribusi fungsi f(x, y) di atas daerah D.

    Perhatikan bahwa ini hanyalah gambaran umum tentang integral lipat dua. Konsep ini dapat diperluas ke dimensi yang lebih tinggi dengan cara yang serupa. Penting untuk mempelajari lebih lanjut tentang metode dan aplikasi khusus integral lipat dua untuk memahami lebih jauh konsep ini.

 

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

    Integral lipat dua melibatkan perkembangan dari konsep integral dalam matematika. Integral lipat dua adalah ekstensi dari integral tunggal yang digunakan untuk menghitung luas daerah di bidang dua dimensi.

    Sebelum pengenalan integral lipat dua, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan konsep integral tunggal untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi satu variabel. Namun, ketika fungsi melibatkan lebih dari satu variabel, seperti fungsi dua variabel yang tergantung pada koordinat x dan y, diperlukan generalisasi integral yang lebih kompleks.

    Pada awalnya, konsep integral lipat dua dikembangkan oleh Henri Lebesgue pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20. Lebesgue memperkenalkan konsep pengukuran yang lebih umum, yang memungkinkan integrasi fungsi yang lebih kompleks dan memperluas definisi integral ke ruang dimensi lebih tinggi.

    Integral lipat dua juga berhubungan erat dengan konsep luas dalam geometri. Dalam geometri, luas adalah ukuran dua dimensi yang menggambarkan ukuran suatu daerah di bidang. Integral lipat dua memberikan alat matematika untuk mengukur luas daerah yang tidak memiliki bentuk geometri sederhana, seperti daerah yang dibatasi oleh kurva yang kompleks atau yang terdiri dari beberapa bagian yang terpisah.

    Konsep integral lipat dua memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang matematika dan fisika. Misalnya, dalam matematika, integral lipat dua digunakan dalam teori probabilitas, teori medan vektor, analisis kompleks, dan geometri. Dalam fisika, integral lipat dua sering digunakan untuk menghitung massa, momen inersia, pusat massa, dan banyak parameter penting lainnya dalam sistem fisik dua dimensi.

    Dengan pengembangan konsep ini, matematikawan dan ilmuwan telah dapat mengeksplorasi dan memahami fenomena yang melibatkan variabel dua dimensi dengan lebih baik, dan integral lipat dua telah menjadi alat penting dalam pemodelan dan analisis matematika dan fisika.

 

 HASIL DAN PEMBAHASAN

Integal Lipat Dua
 

Mengingat kalkulus bahwa ∫a,b 𝑦 𝑑𝑥 = ∫a,b 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎 menyatakan suatu luasan di bawah
kurva. Ingat juga definisi integral sebagai limit dari suatu jumlah. Kita perkirakan suatu
luasan dengan jumlah empat persegi panjang yang mempunyai lebar ∆𝑥. Secara
geometri menunjukkan bahwa bila kita menambah jumlah empat persegi panjang dan
memisalkan lebar ∆𝑥 → 0, penjumlahan luasan empat persegi panjang akan condong ke
luasan di bawah kurva.

Didefinisikan ∫a,b 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 sebagai limit dari jumlah luas empat persegi panjang maka
kita evaluasi integral sebagai anti derivative dan menggunakan ∫a,b 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 untuk menghitung luasan di bawah kurva.
Akan kita kerjakan sesuatu dengan cara sama untuk mendapatkan volume silinder di
bawah permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Kita potong bidang (𝑥, 𝑦) dalam empat persegi panjang
kecil-kecil dengan luas ∆𝐴 = (∆𝑥)(∆𝑦), di atas (∆𝑥)(∆𝑦) adalah kotak kecil tinggi
mencapai permukaan. Volume dapat diperkirakan dengan menjumlahkan empat persegi
panjang.
Di definisikan integral lipat dua dari 𝑓(𝑥, 𝑦) yang meliputi luasan 𝐴 dalam bidang
(𝑥, 𝑦) sebagai limit dari penjumlahan ini dan dituliskan sebagai:

∫∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝐴 disebut daerah integrasi, 𝑓(𝑥, 𝑦) disebut integran, 𝑥 dan 𝑦 dinamakan variabel
integrasi.
Suatu fungsi dua variabel f(x,y) yang kontinu pada persegi panjang S = {(x,y); a≤x≤b;
c≤y≤d} dapat diintegrasikan pada bidang tersebut. Integral fungsi dua variabel f ( x, y )
terhadap suatu luasan A(R) dinamakan integral lipat. Konsep integral lipat dibangun
berdasarkan persegi panjang S yang dipartisi penjadi persegi panjang yang kecil-kecil
dan ditentukan luasnya. Penjumlahan bentuk perkalian f ( x, y ) ΔA untuk semua partisi
merupakan aproksimasi dari integral lipat dua dalam koordinat cartesius. Apabila partisi
persegi panjang sangat kecil sehingga mendekati 0 maka integral lipat dua akan sangat
dekat dengan penjumlahan bentuk f ( x, y ) ΔA.
Penerapan integral di bidang sains dan teknologi sering muncul dalam bentuk integral
ganda dua (lipat dua) dan integral ganda tiga (lipat tiga). Pengertian integral lipat dua
dapat ditulis dalam bentuk:

∫y1,y2 ∫x1,x2 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 

Maksud dari bentuk diatas yaitu pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan
memandang f ( x, y ) sebagai fungsi dari x dan y dianggap tetap atau konstan, sedang batas integral yaitu 𝑥1 ke 𝑥2, kemudian hasil integral pertama diintegralkan terhadap y
dengan batas integral yaitu 𝑦1 ke 𝑦2. Integral lipat dua dalam koordinat cartesius dapat
dihitung dengan integral berulang dengan urutan dx dy atau sebaliknya dy dx asalkan
batasnya sesuai. Konsep integral berulang dapat dimaknai sebagai proses integrasi suatu
fungsi dua variabel f ( x, y ) terhadap x dilanjutkan terhadap y, atau sebaliknya.

 Berikut dijelaskan penyelesaian soal-soal integral lipat dua:

 

 

 

 

 

 KESIMPULAN

Integral lipat dua adalah perluasan dari integral tunggal dalam kalkulus satu variabel. Jika integral tunggal menghitung luas di sepanjang sumbu x atau y, integral lipat dua menghitung luas di bidang dua dimensi.

Integral lipat dua dapat digunakan untuk menghitung luas wilayah yang terbatas oleh fungsi-fungsi dalam dua variabel. Dalam hal ini, integral lipat dua dapat dinyatakan sebagai integral ganda dari fungsi yang diperoleh dari fungsi-fungsi tersebut.

Untuk menghitung integral lipat dua, kita membagi wilayah yang akan diintegralkan menjadi elemen-elemen kecil, misalnya persegi atau persegi panjang. Kemudian, kita menjumlahkan kontribusi dari setiap elemen kecil untuk mendapatkan nilai integral lipat dua.

Notasi umum untuk integral lipat dua adalah sebagai berikut:

∬ f(x, y) dA

di mana f(x, y) adalah fungsi dua variabel yang akan diintegralkan, dan dA adalah elemen luas di bidang dua dimensi.

Kesimpulan penting dari integral lipat dua adalah teorema Fubini. Teorema ini menyatakan bahwa jika fungsi f(x, y) terintegralkan di wilayah terbatas R di bidang dua dimensi, maka kita dapat menghitung integral lipat dua dengan menghitung integral berulang terhadap variabel x dan y secara terpisah.

∬ f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dy = ∫∫ f(x, y) dy dx

Integral lipat dua juga dapat digunakan untuk menghitung berbagai parameter geometri dalam bidang dua dimensi, seperti pusat massa, momen inersia, dan momen gaya

 

 DAFTAR PUSTAKA

            Apriandi, D., & Krisdiana, I. (2016). Analisis Kesulitan Mahasiswa dalam Memahami
Materi Integral Lipat Dua Pada Koordinat Polar Mata Kuliah Kalkulus Lanjut. Jurnal
Pendidikan Matematika, 123-134.
            Cahyono, B. (2013). Penggunaan Software Matrix Laboratory (MATLAB) Dalam
pembelajaran Aljabar Linear. Jurnal Phenomenon, 45-62.
            Mauludya, N., & Supriyo. (2021). Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam Pembuktian
Rumus Luas Lingkaran Menggunakan Integral. 254-262.
            Muchlis, E. E. (2017). Analisis Kesalahan Mahasiswa Pada Materi Integral Lipat di
Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Bengkulu. Seminar Matematika dan
Pendidikan Matematika UNY, 265-272.
            Stewart, J. (2012). Multivariable Calculus. USA: Cengage Learning.
            Suwanto, F. R., Tobondo, Y. V., & Riskiningtyas, L. (2017). Kemampuan Abstraksi
dalam Pemodelan Matematika. Seminar Matematika dan Pendidikan Matematika UNY, 301-
306.
            Wahyuni, A., Kurniawan, P., S.B, W., & Cahyono, A. N. (2019). Analisis Kesalahan
Mahasiswa Dalam Menyelesaikan Soal Integral. Seminar Nasional Edusainstek FMIPA
UNIMUS, 623-629